第二章の補足2 - hyorohyoroの嘘日記

第二章補足最終版になるといいね。

まず簡単な場合について考える。
この画像のように
同じ角度αだけ傾いた斜交座標についてである。
つまり、新しい各軸は $\Large \white t=\tan{\alpha}\; x$ と、 $\Large \white t= \frac{1}{ \tan{\alpha}} x$ 。

時空点Pはこのような新しい座標で表すことができる。
x, tの座標系とプライムのついた座標系の間の変換を求めたいが
直接では分からんので
このようにX, Yを取ってやる。
すると点と直線の距離の関係から
$\Large \white X = \LARGE \frac{| x- t\tan{\alpha}|}{\sqrt{1+\tan^2{\alpha}}}\Large =| x- t\tan{\alpha}|\cos{\alpha}$

$\Large \white T = \LARGE \frac{| x\tan{\alpha} - t|}{\sqrt{1+\tan^2{\alpha}}}\Large =| x\tan{\alpha} - t|\cos{\alpha}$

一方でX, Tとプライム座標系の関係は
図を見てもらうと分かるように
$\Large \white \sin(\pi /2 -2\alpha)=\cos{2\alpha}=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
を使って関係付けることができて
$\Large \white x^{,}=X/\cos{2\alpha$
$\Large \white t^{,}=T/\cos{2\alpha$

三角関数の公式など使いつつさらに計算を進めることができます。
xのほうだけやってみると。
$\Large \white x^{,}=\frac{| x- t\tan{\alpha}|\cos{\alpha}}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{| x- t\tan{\alpha}|}{(1-\tan^2{\alpha})\cos{\alpha}}$

いかん。計算に詰まった。というわけで次回に続く。
よい子はもう寝る時間です。

mimetexでは\lvert, \rvertが使えない模様（|で代用）。
それとギリシャ文字のフォントが変に見えるのは気のせいか？