第一章　特殊相対性理論 - hyorohyoroの嘘日記

ブログでお勉強。
現在の自分の状況：特殊相対性理論を理解している。
テンソル解析の入り口をかじったことがある。

使う教科書：General Theory of Relativity (P.A.M. Dirac)

基本的に一回のエントリーで一章ごとにまとめる（著作権に触れない程度に！）。
35章あるので、最短で35エントリー。
毎日できるとも思えないので、完全に読み終わるのは半年くらいかかるかも…。
三日坊主で終りませんように。

ブログにまとめるのは、
他人の参考のために記録を残しておくという目的と
自分を律するという意図があります。
mimetexのテストもかねてます。
それと、間違いを他人に指摘してもらうという意味も。

ほな早速第一章を開始。

光速cを1とするような単位系を取るとする。
時空間の四次元座標を用いて
$\Large \white x^0=t \\ x^1=x\\ x^2=y\\ x~3=z$
を定義する。これをまとめて $\Large \white x^\mu$ とあらわす。
$\Large \white x^\mu$ のそばの時空点をとってやって
二点の座標の差を考えると $\Large \white dx^\mu$ もひとつのベクトルの成分とみなせる。

特殊相対性理論で許される線形非同次座標変換の元で
$\Large \white dx^\mu$ もそれに伴って線形同次変換される。
その $\Large \white dx^\mu$ のもつ変換性と同じ変換性を持つ量
$\Large \white A^\mu$ のことを反変ベクトルと呼ぶことにする。
その変換性から、いわゆる”ベクトルの長さ”
$\Large \white (A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2=(A, A)$
は不変量であるとわかる。
さらに二つの反変ベクトル $\Large \white A^\mu$ , $\Large \white B^\mu$ を用意すると
そのスカラー積
$\Large \white A^0B^0-A^1B^1-A^2B^2-A^3B^3=(A, B)$
も不変量である。
このスカラー積をあらわすのに便利な量として下付の指数を持つ量を定義する
$\Large \white A_0=A^0 \\ A_1=-A^1 \\ A_2=-A^2 \\ A_3=-A^3$
この量を用いれば、スカラー積は $\Large \white A^\mu B_\mu$ とも $\Large \white A_\mu B^\mu$ とも書ける。
この量は、反変ベクトルとは違った変換性を持つので共変ベクトルと呼ぶことにする。

二つの反変ベクトルの積 $\Large \white A^\mu B^\nu$ と同じ変換性を持つ量 $\Large \white T^{\mu\nu}$ を二次のテンソルと呼ぶ。
同様にして $\Large \white T_{\mu\nu}$ , $\Large \white T^\mu _\nu$ , $\Large \white T_\mu ^\nu$ も二次のテンソルである。
より高次のテンソルについても同じ。

定義から明らかなように $\Large \white T_\mu ^\mu$ はスカラーである。
このように、テンソルの上付きと下付きの添え字を等しくすることで
テンソルの次数を二つ下げることができる。
これを縮約と言う。

コメント：
特殊相対性理論で許される線形非同次座標変換とは
三次元回転とローレンツブーストと並進です。
並進があるので非同次変換になりうる。
添え字の上下は変換性をあらわしている。
添え字の左右（というか横方向の順番）は
行列成分の添え字の順番のように一般に非可換（きっと）