第二章　傾いた軸 - hyorohyoroの嘘日記

二回目。張り切ってまいりましょう。

この章では曲がりのない座標における特殊相対論を扱う

直交座標から斜交座標へと変換すると
古い $\Large \white dx^\mu$ と新しい $\Large \white dx^\mu$ の間は線形変換で結ばれる。
従って
$\Large \white (dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$
という２次形式は新しい座標で表すと
$\Large \white g_{\mu\nu}$ という適当な係数を用いた一般の２次形式
$\Large \white g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$
へと変換される。（ $\Large \white g_{\mu\nu}$ は座標に依存する値）
対称性から $\Large \white g_{\mu \nu}=g_{\nu \mu}$ と取ることができる。

ここで一般化された反変ベクトルを新しく定義しなおす。
つまり斜交座標への座標変換について”も”
$\Large \white dx^\mu$ と同じ変換性を持つものを反変ベクトルとする。
すると反変ベクトル $\Large \white A^\mu$ について、ベクトルの長さ
$\Large \white g_{\mu\nu}A^\mu A^\nu$ は不変量となる。
もうひとつ反変ベクトル $\Large \white B^\mu$ をもってくると
$\Large \white A^\mu+\lambda B^\mu$ も反変ベクトルとなる。
このベクトルの長さは任意の $\Large \white \lambda$ について不変量なので
長さを展開してやって、 $\Large \white \lambda$ についてまとめたとき
それぞれの係数が独立に不変でなければならない。
従って $\Large \white g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu$ も不変量となる。
これがスカラー積である。

$\Large \white g_{\mu\nu}$ の行列式 $\Large \white g$ を考える。
これは0になることはない。
なぜなら、そのとき各軸が独立でなくなってしまい、座標系として不適だから。
一方で、一章で扱ったような直交座標の場合
$\Large \white g_{\mu\nu}$ は対角要素が $\Large \white 1, -1, -1, -1$ で非対角要素は0だったので
$\Large \white g=-1$ となる。
従って任意の斜交座標について $\Large \white g< 0$ となる。
なぜなら斜交座標への変換は連続的に行うことができ、
$\Large \white g$ はそれに伴って連続的に変化するが
$\Large \white g\neq 0$ であるから。

共変ベクトル $\Large \white A_\mu$ を
$\Large \white A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu$ によって定義する。
$\Large \white g\neq 0$ であるから
この四つの方程式は逆にとくことができる。
そのといた結果を適当な係数 $\Large \white g^{\mu\nu}$
を用いて
$\Large \white A^\nu=g^{\mu\nu}A_\mu$
とあらわしてやる。
すなわち $\Large \white g^{\mu\nu}$ は $\Large \white g_{\mu\nu_$ の余因子である。
従って $\Large \white g^{\mu\nu}=g^{\nu\mu}$ も成立する。

上の式のうち一方をもう一方に代入してやると
$\Large \white A_\mu=g_{\mu\nu}g^{\nu\rho}A_\rho$
が任意の $\Large \white A_\mu$ において成立する。
従って
$\Large \white g_{\mu\nu}g^{\nu\rho}=g^\rho_\nu$
ただし、
$\Large \white g^\mu_\rho \{ \array{&=& 1 \; for\; \mu=\rho \\ &=& 0 \; for\; \mu \neq \rho}$
である。

コメント：早くも怪しくなってきた。
斜交座標への変換は分かるが、
斜交座標のローレンツブーストとかあまりイメージできん。
問題ないんですかね。うーん。問題ないんでしょう。
あと、余因子。余因子が何であるかはかろうじて覚えているが
連立方程式を逆にとくと係数が余因子になるというのは
思いだせない。線型代数の教科書でも読み直すか。
要するにある行列とその逆行列との関係を
余因子を用いて簡潔に表現できるのだろう。
とりあえず次回までの宿題。